StruniMa

Покриващи оцветявания - оцветяване с плочки

Дадена е дъска 6х6 и плочки 1х6 и 6х1. При поставяне на плочката (без да излиза от дъската) покритите клетки сменят цвета си. Могат ли да се оцветят 10 клетки по този начин?

Първо правим дъската 6х6 от плъзгача вляво:

След това оцветяваме клетки във формата на стълб 6х1 и натискаме бутона :

От падащото меню до бутона , избираме някоя от двете опции за оцветяване на покритите клетки от плочките:

Оцветявайки 1 ред и 1 стълб могат да се оцветят 6+6-2=10 клетки:

Могат ли да се оцветят 19 клетки използвайки двете плочки?

Не е възможно. Може да забележим, че при поставяне на плочка в кой да е ред или стълб, то броят на оцветените се променя с четно число:

Това е така, тъй като ако броят на оцветените в съответния ред/стълб е x, то след поставянето на плочката, новият брой оцветени клетки е 6 - x (тъй като неоцветените са станали оцветени и обратното). Тогава броят на оцветените клетки се е променил с
(6 - x) - x = 6 - 2x,
което е четно число при всяко цяло число x.
Тъй като започваме от 0 оцветени в началното положение и всеки път променяме броят на оцветените клетки с четно число, то и след произволен брой поставяния броят на оцветените клетки ще остане четно число. Няма как да получим 19 оцветени, което е нечетно число.

Дадена е дъска 6х7. При поставяне, без излизане от дъската, покритите от плочката клетки сменят цвета си. Може ли да се оцветят 32 клетки, използвайки двете плочки?

Нека оцветим m реда и n стълба. Броят на оцветените клетки ще бъде броят на клетките в тези редове и стълбове m.7 + n.6, но трябва да извадим 2 пъти броят на пресечните клетки от редовете и стълбовете - 2.m.n. Например, ако оцветим 3 реда и 2 стълба броят на оцветените клетки ще бъде 3.7 + 2.6 - 2.2.3 = 21:

Тогава можем да кажем, че броят на оцветените клетки зависи само от броят на оцветените редове и броят на оцветените стълбове (без значение кои точно са те или в какъв ред). Така записваме:

Знаем също така, че m е между 0 и 6 включително, а n между 0 и 7 включително. Но нито при нито една от тези възможности, 2.n-7 и m-3 нямат произведение -11 (тъй като трябва поне едно от двете да се дели на 11). Тогава не е възможно да се оцветят 32 клетки.

Дадена е дъска 11х11, като едно от квадратчетата е оцветено. При поставяне, без излизане от дъската, покритите от плочката клетки сменят цвета си. Може ли да се оцветят 53 клетки, използвайки двете плочки?

Можем да забележжим, че местоположението на оцветената клетка не е от значение. Нека m са оцветените редове, а n са оцветените стълбове. Тогава 11.m+11.n-2.m.n трябва да бъде или 52, или 54 (в зависимост дали оцветената клетка е останала оцветена или неоцветена):

Задачата е улеснен вариант на задача 9.3 от Есенен Математически Турнир, 2011, (Петър Бойваленков).

Дадена е
а) дъска 3х3;
б) дъска 9х10;
в) дъска 11х11;
и две плочки Г-Тримино, като показаните (не могат да се въртят). При поставяне покритите квадратчета сменят цвета си. Може ли да се оцветят всички квадратчета в таблицата? (IMO Shortlist 2023, Вижте в Art of Problem Solving)

а) Можем да забележим, че дъска 3х3 може да се оцвети чрез двете плочки:

б) В а) се вижда, че може да се покрие всяка ивица 1 x (3k) в правоъгълна дъска, като се оцветяват правоъгълници 1х3.

Можем да оцветим първоначално 8 стълба 1х9 и след това да разделим оставащата ивица 2х9 на правоъгълници 2х3, които могат да се покрият с плочките:

Можем да разсъждаваме по същия начин за всяка дъска m x n (m>1 и n>1), на която поне единия размер се дели на 3.

в) Нека да оцветим дъската диагонално с три цвята, както е показано:

Броят на сините, сивите и оранжевите клетки е съответно 40,40 и 41. Ако допуснем, че всяка от клетките може да се окаже оцветена, то всяка клетка е била покрита нечетен брой пъти. Но тогава общия брой ходове върху сините и сивите е четен (тъй като четен брой нечетни числа имат сума четно), а върху оранжевите има общо нечетен брой ходове.
От друга страна върху всеки цвят клетки са направени равен брой ходове, тъй на всяко поставяне се покрива точно 1 синя, 1 сива и 1 оранжева клетка. В частност четността на общия брой ходове върху клетките е една и съща, което е противоречие.

Горното е вярно за всяка дъска, на която и двата размера не се делят на 3 - броят на някой от сините, сивите и оранжевите е с различна четност от другите два цвята.