StruniMa

Покрития на дъска - 1х3 тримино

Когато плочка е съставена от три квадратчета подредени в права линия, ще я наричаме Тримино 1х3:

Може ли дъска 5х5 с изключено ъглово квадратче да се покрие с Тримино 1х3?

Ако оцветим дъската по следния начин (диагонално), както и да поставяме плочката тя ще покрива точно 1 оцветено квадратче:

Ще са ни нужни 24 : 3 = 8 плочки, а оцветените са 9 - не можем да я покрием. Това остава вярно, което и ъглово квадратче да изключим.

Да разгледаме следните четири "диагонални" оцветявания. Всяко от тях включва 8 оцветени квадратчета.

Ако изключим кое да е от тях на дъската остават 7 оцветени квадратчета.

Нужни са 8 плочки, за да покрием дъската. Всяка от тях покрива точно едно оцветено квадратче. Тъй като плочките са повече от оцветените квадратчета, то две от тях ще покриват общо квадратче. Не можем да покрием дъската

Забележете, че това остава вярно ако изключим кое да е квадратче участващо в някое от четирите оцветявания. Това означава, че за ако изключим кое да е квадратче освен централното за таблицата - останалата дъска не може да се покрие с тримино 1х3. А ако изключим централното можем да намерим следното покритие:

Когато дъската е тримерна отново можем да използваме диагонално оцветяване.

Можем ли да покрием с Тримино 1х3 куб 4х4х4 с изключено ъглово кубче?

Броят на останалите кубчета е 4.4.4 - 1 = 63. Тогава ще са ни нужни 21 плочки за да покрием дъската.

Да направим следното диагонално оцветяване:

Забележете, че всяка плочка тримино отново ще покрива точно 1 оцветено кубче, където и да я поставим.

Можем да забележим, че както и да направим оцветяването на предната стена, то броят на оцветените кубчета винаги ще бъде 21. За това можем и да направим покритие на дъската с тримино 1х3. Първо слагаме 12 плочки по следния начин:

Накрая покриваме дясната стена:

Нека вместо ъглово кубче, да премахнем кубчето под него и отново да се опитаме да покрием дъската:

Отново броят на нужните плочки е 21. Нека да направим следното диагонално оцветяване:

Тук броят на оцветените кубчета е 6+5+5+6 = 22 (забележете, че всеки трети слой от куба има едно и също оцветяване - 1-и и 4-ти слой). Тъй като всяка плочка тримино покрива точно едно оцветено кубче, то не можем да покрием дъската.