Покрития на дъска - Г-тримино
Когато плочка е съставена от три квадратчета образуващи фигура с формата на буквата Г, тя се нарича Г-Тримино:
Възможно ли е да покрием дъска 3х3 с плочки от този вид (без да се застъпват или излизат от дъската)?
Ще са ни нужни 9 : 3 = 3 плочки. Нека да разгледаме следното оцветяване на дъската:
Забелязваме, че всяка плочка покрива или 1 или 0 оцветени квадратчета. Тогава трите плочки заедно няма как да покрият и 4-те оцветени квадратчета - дъската не може да се покрие.
Нека да премахнем показаното квадратче от дъска 5х5. Може ли оставащата дъска 5х5 да се покрие с плочки Г-Тримино?
Отново да направим оцветяване през ред и колона. Броят на квадратчетата, които трябва да покрием е 5.5-1 = 24 т.е. ни трябват 24 : 3 = 8 плочки, с които няма как да покрием 9 оцветени квадратчета:
Можем да забележим, че което и от белите квадратчета да премахнем от дъската 5х5 оставащата дъска не може да се покрие с плочки Г-Тримино.
Вярно ли е, че ако премахнем кое да е от черните квадратчета, оставащата дъска може да се покрие с плочки Г-Тримино?
В случай, че премахнем ъглово квадратче от дъската 5х5 оцветените квадратчета остават 8:
Така ако всяка плочка покрива точно по едно оцветено квадратче, можем да покрием дъската с плочки Г-Тримино:
Опитайте сами да намерите покрития на следните дъски (което ще означава, че което и от деветте черни квадратчета да премахнем оставащата дъска може да се покрие):
Маршал Аш и Соломон Голомб доказват, че ако е дадена дъска m x n, такава че m и n са по-големи от 1, различни от 2 и 5 и m.n-1 се дели на 3, то което и квадратче да премахнем от дъската, оставащата дъска може да се покрие с плочки Г-Тримино.
Свойствата на това оцветяване се запазват, когато преминем към тримерни дъски.
Може ли куб 3х3х3 да се покрие с плочки Г-Тримино?
В куба 3х3х3 да оцветим 8-те кубчета по върховете, както и кубчето във вътрешността на големия куб - 9 е най-големият брой оцветени кубчета, при който всяка плочка тримино покрива най-много по 1 оцветено кубче:
Броят на плочките, които ни трябват е 27 : 3 = 9. Тогава можем да видим, че тримерната дъска може да се покрие:
(Артур Бефумо и Джонатан Ленхнер) Тук може да се види, че ако премахнем, което и да е кубче от тримерна дъска m x n x k, за която m.n.k-1 се дели на 3 и m,n,k > 1, то оставащата дъска може да се покрие с Г-Тримино.
Да изследваме горното за дъска 2х4х5.
Дясното покритие на дъска 4х10 може да се преобразува в покритие на дъската 2х4х5. Покриваме първо десния слой на дъската 2х4х5, след това поставяме преходното Г-Тримино между двата слоя и довършваме левия слой. (Каквито са и трите части на покритието на дъската 4х10 с липсващо квадратче).
За да изследвате, можете да го направите в обучителната тема "Покритие с домино" в Покрития на дъска:
Copyright: Mladen Valkov