Пресичане на отсечки
В колко точки общо могат да се пресичат n отсечки, като никои три отсечки не преминават през една и съща точка (или броят на двойките пресичащи се отсечки)?
Две отсечки се пресичат в не повече от 1 точка:
Добавяйки трета отсечка, тя пресича в най-много 2 точки общо предишните две отсечки:
Добавяйки четвърта отсечка, тя пресича в най-много 3 точки предишните три отсечки:
Така най-големият брой пресечни точки се получава когато всяка от n-те отсечки пресича всяка от останалите. Тогава всяка от отсечките има точно n-1 пресечни точки върху себе си и всяка от пресечните точки участв в точно 2 отсечки. Така максималния брой пресечни точки е (n.(n-1))/2.
За да се направите няколко отсечки в СтруниМа, от падащото меню вляво изберете "Отсечки":
От плъзгача можете да промените броя на направените отсечки:
От падащото меню вдясно избираме "Разместване" и разместваме 6-те отсечки така, че всяка да пресича всяка от останалите - в общо 6.5/2=15 различни точки.
Натискаме бутона "Направете отворени възли от звената", за да проверите броят на пресичанията (броят на двойките отсечки, които се пресичат)
За да изследвате влезте в темата за Възли и връзки->Отвори графи. За да преминете през обучителните стъпки изберете "Пресичане на отсечки общ брой":
От падащото меню до бутона "Направете отворени възли от звената", избираме "За всяка отсечка" - така можем да видим борят на пресичанията върху всяка от отсечките по отделно.
Можем да се разместят 5 отсечки така, че всяка от тях да пресича точно по 2 от останалите, като никои три не преминават през една точка?
Възможно е. Нека да подредим отсечките така, че 5-те заедно да ограждат петоъгълник:
Можем да се разместят 5 отсечки така, че всяка от тях да пресича точно по 3 от останалите, като никои три не преминават през една точка?
Да разположим отсечките по произволен начин:
Сумата от броят на пресечните точки върху всяка отсечка е 1+2+2+2+3=10. В тази сума всяка от точките участва по 2 пъти. Тогава получаваме броят на пресечните точки, като 10:2=5. Това остава вярно за произволно разположение на точките т.е. сумата от броя на пресечните точки върху отсечките трябва да е четно число. Тогава не е възможно да се разместят 5 отсечки така, че всяка от тях да пресича по точно 3 от останалите, тъй като 5.3=15 е нечетно число.
Намерете пример, при който всяка от 7 отсечки пресича по точно 4 от останалите.
За да изследвате влезте в темата за Възли и връзки->Отвори графи. За да преминете през обучителните стъпки изберете "Брой пресичания за всяка отсечка":
Copyright: Mladen Valkov