Покрития на дъска - З-тетрамино
Следната плочка ще наричаме З-Тетрамино:
Възможно ли е дъска 7х7 с премахнато ъглово квадратче да се покрие изцяло с плочки З-Тетрамино така, че никоя плочка не излиза от дъската и никои две плочки не се припокриват?
Забележете, че плочката е съставена от плочка Г-Тримино и още едно единично квадратче. Затова оцветяването през ред и стълб (вижте Покритие на дъска с Г-Тримино) е подходящо и за нея.
Нужни са 48 : 4 = 12 плочки, а оцветените квадратчета са 15. Всяка плочка покрива точно едно оцветено квадратче - дъската не може да се покрие.
Дадена е следната дъска 5х7. Може ли да бъде покрита, като се използват плочки З-Тетрамино и Г-Тримино?
Начините да представим 35, като сума от 3 и 4 са 35 = 2.4 + 9.3 = 5.4 + 5.3 = 8.4 + 1.3. Във всеки един от случаите броят на плочките не надвишава 11. Всяка плочка З-Тетрамино покрива точно 1 оцветено квадратче, а всяка плочка Г-Тримино не повече от 1. Тогава заедно 11 плочки З-Тетрамино и Г-Тримино могат да покрият 11 оцветени квадратчета - а на дъската са 12. Не може да бъде покрита с двата вида плочки.
Да премахнем 1 ъглово квадратче от дъската 5х7.
Броят на оцветените квадратчета е 11 - трябва да използваме поне 11 плочки. Единственият начин за това е да използваме 1 плочка З-Тетрамино и 10 плочки Г-Тримино. Знаейки това, можем да намерим примера:
За тримерни дъски можем да използваме отново оцветяването през ред и колона (вж. Покритие на дъска с Г-Тримино).
От дъска 2х5х5 са изключени две кубчета, както е показано. Може ли дъската да се покрие с плочки З-Тетрамино?
Броят на оцветените кубчета е 13. Броят на плочките, който е нужен да покрием дъската е (50-2):4 = 12. Всяка плочка, както и да е поставена покрива точно едно оцветено кубче - не можем да покрием дъската.
Забележете, че това остава вярно, ако изключим всяка от двойките кубчета, които не съдържат нито едно от оцветените кубчета.
Кои от останалите двойки можем да изключим така, че оставащата дъска да може да се покрие?
Да изключим двете кубчета от горния десен ръб на дъската. Забележете, че при всяко оцветяване през ред и колона, броят на оцветените кубчета е 12.
Първо можем да поставим 4 плочки З-Терамино върху предната стена така, че да остане място за 2 плочки Г-Тетрамино.
Можем да подредим две двойки от плочки З-Тетрамино така, че да образуват плочка Г-Тетрамино както на предната стена така и на задната.
Така на двете плочки Г-Тетрамино са разположени симетрично на тези от предната стена.
Това означава, че оставащата част от задната стена можем да я покрием симетрично на предната с 4 плочки З-Тетрамино.
Оказва се, че при следните 2 случая има покритие:
а когато премахнем средните две кубчета за горната стена (аналогично долната, лявата и дясната) няма, тъй като не можем да покрием горната част на дъската:
Плочката е интересна и с други оцветявания, като например шахматното оцветяване и оцветяването по колони, при които плочките З-тетрамино покриват точно 2 черни и точно 2 бели клетки. Показаните дъски няма как да се покрият, понеже съдържат различен брой черни и бели клетки.
При някои дъски са нужни разсъждения различни от тези с оцветяванията. Опитайте се да покриете следните дъски с плочки З-Тетрамино:
Можете да изследвате в обучителната тема "Покритие със З-Тетрамино" в Покрития на дъска:
Copyright: Mladen Valkov