Разместване на точки - без познати фигури
Дадена е триъгълна мрежа със страна 3 (върховете на единични равностранни триъгълници, които заедно образуват равностранен триъгълник със страна 2). Колко точки можем да поставим най-много върху нея, така че никои три от поставените точки не са върхове на равностранен триъгълник?
Ще покажем, че не можем да поставим повече от 4 точки.
В СтруниМа можем да проверим дали има равностранен триъгълник с бутона :
Тъй като 6-те поставки в мрежата могат да се разбият на две тройки, които са върховете на равностранен триъгълник и във всеки от тях имаме не повече от две поставени точки, то общият брой поставени точки е най-много 4:
Дадена е триъгълна мрежа със страна 4. Колко най-много точки можем да разположим, така че да няма три точки, които са върхове на равностранен триъгълник.
Ще покажем, че не можем да поставим повече от 6 точки.
Нека да поставим точка в централната поставка. Тогава в шестте позиции около нея не можем да поставим две съседни, тъй като ще се образува равностранен триъгълник. Също така, ако ги поставим през една, отново ще се образува равностранен триъгълник.
Така в шестте точки около централната има не повече от 2 поставени. В поставките, които са върхове на големия триъгълник има не повече от 2 поставени точки. Така, ако поставим точка в центъра имаме не повече от 1+2+2 = 5 поставени:
Ако не поставим точка в центъра, то останалите поставки се разбиват на 3 тройки, които образуват равностранни триъгълници помежду си. Затова в този случай имаме не повече от 2+2+2 = 6 поставени точки:
Дадена е триъгълна мрежа със страна 5. Колко най-много точки можем да разположим, така че да няма три точки, които са върхове на равностранен триъгълник. (Иван Тонов, Пролетен математически турнир, 2003 година, 8 клас)
Ще покажем, че не можем да поставим повече от 8 точки. Да допуснем, че можем да поставим 9 точки без равностранен триъгълник.
Нека да разгледаме триъгълна мрежа със страна 4 във някои от върховете на нашата мрежа. Ако поставим централната точка в нея, то от миналата задача знаем, че не можем да поставим най-много 5 точки без равностранен триъгълник. Така, за да има 9 поставени, трябва в долния ред да са поставени поне 4 точки:
От друга страна, всяка двойка от тези 4 точки "забранява" една от точките в горната мрежа. Тъй като образуват 6 двойки, то са "забранени" 6 от позициите отгоре т.е. в този случай не могат да се поставят повече от 4+4 = 8 точки.
Това показва, че ако поставим централната точка, в който и да е от равностранните триъгълници със страна 3 в ъглите на нашата мрежа, то имаме не повече от 8 поставени.
От друга страна, ако не поставим никоя от трите точки в центъра на мрежата (от своя страна те са центровете на трите триъгълника със страна 3 в ъглите на мрежата), то останалите точки се разбиват на 4 тройки, които са върховете на равностранен триъгълник.
Оттук имаме и не повече от 4.2=8 поставени точки, като следната конструкция изпълнява условието:
Дали за всяка триъгълна мрежа със страна \(n\), максималният брой точки, който може да се постави без равностранен триъгълник е \(2n-2\)? Оказва се, че това е вярно само за \(n=2,3,4,5,6,7,8\). За \(n=9\) максималният брой точки е 17 (показано чрез директна проверка с използването на софтуер oeis.org/A240114):
Copyright: Mladen Valkov